دنباله فیبوناچی یکی از مشهورترین و جذاب‌ترین کشف‌های ریاضی است که حتی امروز هم الهام‌بخش دانشمندان، مهندسان، هنرمندان و محققان سراسر جهان است. این دنباله، رابطه عمیق بین ریاضیات و فرایندهای طبیعی، پدیده های فرهنگی و تکنولوژیک را نشان می‌دهد. این مفهوم جهان‌شمول، مثال واضحی از این است که ایده‌های انتزاعی ریاضی چگونه می‌توانند در حوزه‌های مختلف فعالیت انسان کاربرد داشته باشند. این دنباله، رابطه متقابل همه پدیده‌های جهان با هم را تأیید می‌کند. دنباله فیبوناچی در معامله‌گری در بازارهای مالی به‌صورت فعالانه استفاده می‌شود. در پلتفرم متاتریدر ۴ (MT4) می‌توانید گزینه ترسیم «فیبوناچی اصلاحی» را بین ابزارهای گرافیکی درونی متاتریدر پیدا کنید. تریدرها با استفاده از آن می‌توانند سطح حمایت و مقاومت را تشخیص دهند و نقاط احتمالی تغییر روند , برگشت قیمت را پیدا کنند. خب، این نابغه ریاضی که بود و دنباله او چه معنایی دارد؟
لئوناردو اهل پیسا، که به فیبوناچی مشهور است، حوالی سال ۱۱۷۰ در پیسا (دولت-شهری که اکنون بخشی از ایتالیا است) متولد شد. خود لئوناردو هرگز خودش را «فیبوناچی» ننامید. اولین اشاره به «لئوناردو فیبوناچی» در پرونده‌های «پریزولو دا پیسا» ، دفتر اسناد رسمی «امپراتور مقدس روم» در سال ۱۵۰۶ دیده می‌شود. کلمه فیبوناچی خلاصه دو کلمه است «فیلوس بوناچی» که روی جلد «کتاب چرتکه» نوشته شده است و به معنای «پسر بوناچی» است. نظریه دیگری وجود دارد که می‌گوید واژه «بوناچی» را می‌توان به معنای مستعار «خوشبخت» تفسیر کرد. این ریاضی‌دان معمولاً خودش کارهایش را با نام «بوناچی» امضا می‌کرد اگرچه گاهی اوقات از نام «لئوناردو بیگولو» هم استفاده می‌کرد (کلمه «بیگولو» در لهجه توسکانی به معنای «آواره» و همین‌طور «بیکار» است).
لئوناردو که در خانواده‌ای تاجر به دنیا آمده بود از سنین پایین با تجارت و جنبه‌های عملیاتی ریاضیات آشنا شد و همین موضوع، علایق و دستاوردهای علمی او را در آینده شکل داد. پدر او بارها برای تجارت کالاها به الجزایر سفر کرده بود و لئوناردو در آنجا ریاضیات را زیر نظر معلمان عرب آموخته بود. فیبوناچی بعدا به مصر، سوریه و بیزانس هم سفر کرد و با کارهای ریاضی‌دان‌های باستانی و هندی با ترجمه عربی آشنا شد. فیبوناچی بر اساس دانشی که کسب کرده بود، چند رساله ریاضی نوشت که مهم‌ترین آنها «کتاب چرتکه» (به لاتین: «لیبر آباکی») است که ابتدا در سال ۱۲۰۲ منتشر شد و نسخه بازنگری شده آن در سال ۱۲۲۸ انتشار یافت.
این کتاب به شرح و ترویج حساب ده‌دهی اختصاص داشت و مبنای گسترش اعداد هندی-عربی از جمله مفهوم صفر را شرح می‌داد. فیبوناچی در آثارش، پتانسیل این اعداد که قبلا به‌درستی فهمیده نشده بودند را بررسی کرد و ریاضیات اروپا را دچار تحولی بنیادین کرد. نکته مهم این است که «کتاب چرتکه» به زبانی ساده نوشته شده است که خیلی واضح‌تر از نمونه‌های اسلامی و باستانی است. مسائل عملی که در آن ارائه شده‌اند برای مخاطبان بازرگان نوشته بودند و همین نکته، باعث افزایش شهرت و محبوبیت او شد.
مشهورترین سهم فیبوناچی در ریاضیات به دنباله اعدادی مربوط می‌شود که به نام او نام‌گذاری شده است. مسئله تولیدمثل خرگوش که در «کتاب چرتکه» تشریح شده است یک نمونه کلاسیک است که به فرمول مشهور دنباله او منجر می‌شود. این مسئله ارائه شده است تا اصل رشد جمعیت بین خرگوش‌ها را توضیح دهد. این مسئله این‌گونه طرح می‌شود: فرض کنید که یک جفت خرگوش نوزاد وجود دارد که یکی نر و دیگری ماده است. خرگوش‌ها به‌محض رسیدن به یک‌ماهگی، تولیدمثل را شروع می‌کنند. در پایان هر ماه هر جفت بالغ یک جفت نوزاد خرگوش (یکی نر و یکی ماده) تولید می‌کند. فرض کنید که خرگوش‌ها نمی‌میرند و تولیدمثل آنها طبق این قوانین ادامه پیدا می‌کند، بعد از یک سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت؟
اصل اساسی حل این مسئله این است که تعداد جفت‌های خرگوش در هر ماه برابر با جمع تعداد جفت‌های خرگوش در ماه قبل و تعداد جفت‌های خرگوش نوزاد در ماه قبل از آن است. به این دلیل از این راه‌حل استفاده می‌کنیم که هر جفت بالغ در تولد یک جفت دیگر و در مجموع تعداد خرگوش‌ها سهم دارد. پس دنباله خرگوش‌ها به این صورت است: (۰)، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۸، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷، ۶۱۰، ۹۸۷، ۱۵۹۷ و به همین ترتیب، که هر عدد برابر با جمع دو عدد قبلی است. این دنباله به نام دنباله فیبوناچی مشهور شده است.
دنباله فیبوناچی فقط مدل ریاضی رشد جمعیت را نشان نمی‌دهد بلکه رابطه متقابل بین ریاضیات و قوانین طبیعی را هم نشان می‌دهد و رابطه تنگاتنگی با «نسبت طلایی» دارد.
خاستگاه اولیه «نسبت طلایی» را باید در اعماق تاریخ جستجو کنیم. برخی تحقیقات نشان می‌دهند که مصریان باستان به‌خصوص در ساخت اهرام از این نسبت آگاه بوده‌اند اگرچه می‌توان شواهد به‌دست‌آمده را به شیوه‌های گوناگونی تفسیر کرد. اولین شرح سیستماتیک اصل «نسبت طلایی» به اقلیدس ریاضی‌دان یونان باستان نسبت داده می‌شود که در اثرش به نام «عناصر» تقسیم یک بخش به «نسبت افراطی و میانه» را شرح داده است. اقلیدس مبنای ریاضی این نسبت را پایه‌گذاری کرد اما ارزش زیبایی‌شناختی که امروزه برای آن قائل هستیم را برای آن در نظر نگرفت. از بین مثال‌های عملی بعدی این نسبت در یونان باستان می‌توان به معبد پارتنون در آتن (۴۸۲ تا ۴۴۷ قبل از میلاد) اشاره کرد که «ایکتینوس» و «کالیکراتس» معماران یونان باستان آن را ساخته‌اند.
در دوران رنسانس علاقه به نسبت طلایی افزایش پیدا کرد زیرا هنرمندان و معمارانی مثل لئوناردو داوینچی و «لو کوربوزیه» در آثارشان از آن استفاده زیادی کردند و مشتاق دستیابی به هماهنگی و کمال در فرم بودند. لئوناردو داوینچی «نسبت طلایی» را کاملا بررسی کرد و آن را در آثار مشهوری از جمله «مونالیزا» و «مرد ویترویوسی» به کار گرفت. او نسبت طلایی را «نسبت متعالی» می‌نامید که اهمیت چشمگیر این نسبت در هنر و معماری را نشان می‌دهد.
خب، این «نسبت متعالی» چیست؟ این نسبت یک عدد گنگ است که با حرف یونانی φ (فی) نمایش داده می‌شود و تقریباً معادل ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ است. این نسبت وقتی ایجاد می‌شود که یک خط (یا شیء دیگری) را بتوان به شیوه‌ای تقسیم کرد که نسبت «کل به جزء بزرگ‌تر» برابر با «نسبت جزء بزرگ‌تر به جزء کوچک‌تر» باشد.
رابطه بین دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی این است که هرچه بیشتر در این دنباله به پیش برویم، نسبت دو عدد فیبوناچی متوالی به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود. مثلاً اگر عدد ۲۱ را بر عدد قبلی این دنباله یعنی ۱۳ تقسیم کنیم، به عدد تقریبی ۱.۶۱۵ می‌رسیم. وقتی اعداد دنباله افزایش پیدا می‌کند نسبت بین آنها به ۱.۶۱۸ یا «نسبت متعالی» نزدیک‌تر می‌شود.
این رابطه نه‌تنها در ریاضیات بلکه در طبیعت، هنر، معماری و سایر حوزه‌ها هم منعکس می‌شود جایی که نسبت‌هایی که به «نسبت طلایی» نزدیک‌تر می‌شوند به نظر هماهنگ‌تر و زیباتر می‌رسند. خصوصیات منحصربه‌فرد و تجسم ایده هماهنگی باعث شده است تا نسبت طلایی به موضوع ابدی تحقیق و انجام کارهای عملی تبدیل شود.
رابطه تنگاتنگ دنباله فیبوناچی با نسبت طلایی باعث می‌شود تا این دنباله به ابزار منحصر‌به‌فردی برای تحلیل و درک اشکال و پدیده‌های طبیعی تبدیل شود. اعداد فیبوناچی را می‌توان در حوزه‌های علمی متنوعی از آرایش برگ‌ها و گل‌های گیاهان تا مارپیچ‌های کهکشانی پیدا کرد. در حوزه موسیقی، برخی آهنگ‌سازها آثارشان را با تعریف طول ملودی یا قطعات هارمونی بر اساس اعداد فیبوناچی می‌سازند.
این اعداد، آرایش برگ‌ها، شاخه‌ها و حتی بذرهای گل‌ها را در زیست‌شناسی نشان می‌دهند که به دسترسی حداکثر به نور خورشید و سایر منابع منجر می‌شود. مثلاً در آفتاب‌گردان‌ها، تعداد مارپیچ‌های بذر در یک‌جهت و جهت دیگر اغلب منطبق بر اعداد فیبوناچی متوالی است. همان‌طور که در مسئله اصلی خرگوش دیدیم این دنباله می‌تواند سناریو‌های رشد جمعیت واقعی گونه‌های گوناگون زیستی را توضیح دهد.
در فیزیک کوانتومی، دنباله‌های شبیه به دنباله فیبوناچی می‌توانند خصوصیات خاصی از شبه‌کریستال‌ها و سایر ساختارهای پیچیده را توضیح دهند. آرایش اتم‌ها در مولکول‌های برخی ترکیبات شیمیایی از دنباله‌ای شبیه به دنباله فیبوناچی پیروی می‌کند و این موضوع بر خصوصیات فیزیکی و شیمیایی آنها تأثیر می‌گذارد. دنباله فیبوناچی در برنامه‌نویسی برای تدریس الگوریتم‌های بازگشتی و تکراری استفاده می‌شود. همچنین این دنباله در برخی مدل‌های هوش مصنوعی برای بهینه‌سازی فرایندهای یادگیری و تشخیص الگو استفاده شده است. این دنباله در نظریه بهینه‌سازی و توسعه الگوریتم‌های کارآمد مثلاً برای ارزیابی پیچیدگی مسئله، بهینه‌سازی کوئری‌های پایگاه‌داده و بهبود عملکرد سیستم استفاده می‌شود.
تحقیقات انجام شده در روان‌شناسی نشان می‌دهند که افراد به‌صورت شهودی از اصولی شبیه به دنباله فیبوناچی در هنگام تصمیم‌گیری در شرایط مبهم مثلاً هنگام ارزیابی احتمالات استفاده می‌کنند. این دنباله در معاملات بازارهای مالی هم کاربرد دارد و ادغام ریاضیات و شهود بازار را به همراه داشته است که در مقاله مجزایی درباره آن به تفصیل صحبت خواهیم کرد.
