ஃபிபோனாச்சி நிலைகள் மற்றும் வர்த்தக உத்திகளில் அவற்றின் பயன்பாடு

ஃபிபோனாச்சி நிலைகள் நிதிச் சந்தைகளின் தொழில்நுட்பப் பகுப்பாய்வின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாக மாறிவிட்டன. சாத்தியமான ஆதரவு மற்றும் எதிர்ப்பு நிலைகள், விலை மையப் புள்ளிகள், போக்கு காலங்கள், மற்றும் இலாபம் எடுப்பதற்கான உகந்த தருணங்களை அடையாளம் காண வர்த்தகர்கள் அவற்றை ஒரு கருவியாகப் பயன்படுத்துகின்றனர். மெட்டாடிரேடர் 4 (MT4) இயங்குதளத்தில், உள்ளமைக்கப்பட்ட கிராஃபிக் கருவிகளில், டிரா ஃபிபோனாச்சிமறுசீரமைப்பு விருப்பத்தை நீங்கள் காணலாம். இந்தக் கருவியானது, சந்தை சுழற்சியில் நகர்கிறது என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையில், வர்த்தகம் செய்யப்பட்ட சொத்துக்களின் இயக்கத்தை முன்கணிப்பதில் உதவுகிறது மேலும் விலைத் திருத்தங்கள் பெரும்பாலும் லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சி கண்டுபிடித்த முறையைப் பின்பற்றுகின்றன.

ஒரு சுருக்கமான வரலாறு

ஃபிபோனாச்சி வரிசையின் வரலாறு, அதன் குறிப்பிடத்தக்க பண்புகள் மற்றும் "தெய்வீக" கோல்டன் ரேஷியோ உடனான அதன் இணைப்பு ஆகியவை ஒரு தனிக் கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த வரிசை 13ஆம் நூற்றாண்டில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஆஃப் பிசாவால் ஐரோப்பிய அறிவியலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது என்று நாங்கள் குறிப்பிட்டோம். இது 0 மற்றும் 1-இல் தொடங்குகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, மற்றும் பல). அதே கட்டுரையில், கணிதம், இயற்பியல், வேதியியல், சைபர்நெட்டிக்ஸ், கட்டிடக்கலை, உயிரியல் மற்றும் இசை போன்ற பல்வேறு பகுதிகளில் இந்த எண் தொடரின் பயன்பாட்டைப் பற்றி விவாதித்தோம். இப்போது, ஃபாரெக்ஸ், பங்கு, கிரிப்டோகரன்சி, மற்றும் பொருட்கள் சந்தைகளுடன் ஃபிபோனாச்சி எண்களின் இணைப்பைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

நிதிச் சந்தைகளில் ஃபிபோனாச்சி வரிசையைப் பயன்படுத்துவது இந்தக் கணிதவியலாளரின் அசல் யோசனை அல்ல. இந்தக் கொள்கைகளின் பயன்பாடு முதலில் பங்குச் சந்தையிலும் பின்னர் பிற நிதிச் சந்தைகளிலும் 20ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே ஆராயப்பட்டு பிரபலமடைந்தது. இந்த வரிசையைப் பயன்படுத்தத் தொடங்கியவர்களில் முதன்மையானவர் எலியட் வேவ் தியரியை உருவாக்கிய ரால்ப் எலியட் ஆவார். இருப்பினும், பிற பகுப்பாய்வாளர்களின் படைப்புகளுக்கு ஃபிபோனாச்சி நிலைகள் மிகவும் பரவலாகிவிட்டன, அவர்களின் பெயர்களை இக்கட்டுரையின் முடிவில் குறிப்பிடுவோம்.

ஃபிபோனாச்சி மறுசீரமைப்பு நிலைகள்

இந்த இத்தாலிய கணிதவியலாளரின் பெயரிடப்பட்ட தொழில்நுட்பப் பகுப்பாய்வில் மிகவும் பிரபலமான கருவி ஃபிபோனாச்சி மறுசீரமைப்பு (ரீட்ரேஸ்மென்ட்) நிலைகள் ஆகும், இது முக்கிய போக்கிலிருந்து விலை திருத்தத்தின் அளவை தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது. 23.6%, 38.2%, 50%, 61.8% மற்றும் சில சமயங்களில் 78.6% ஆகியவை மிகவும் பொதுவான மறுசீரமைப்பு நிலைகளாகும். இந்த நிலைகளைப் பயன்படுத்த, முதலில் விலை விளக்கப்படத்தில் உள்ள முக்கியப் போக்கை அடையாளம் காண வேண்டும். பின்னர், எம்டி4 முனையத்தில், டிரா ஃபிபோனாச்சி ரிட்ரேஸ்மென்ட் கருவி இந்தப் போக்கின் இரண்டு தீவிரப் புள்ளிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது: ஒரு உயர்வுக்கான குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்சம் அல்லது ஒரு இறக்கத்திற்கு அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம். விளக்கப்படத்தில் தொடர்ந்து ஃபிபோனாச்சி நிலைகள், விலை ஆதரவு அல்லது எதிர்ப்பை அனுபவிக்கக்கூடிய சாத்தியமான மண்டலங்களை அடையாளம் காண உதவுகின்றன, அதன்படி, தலைகீழாக மாறும்.

ஃபிபோனாச்சி எண்கள் மற்றும் ஃபிபோனாச்சி பின்வாங்குதல் நிலைகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசத்தை ஒரு விவேகமான வாசகர் உடனடியாக கவனிப்பார். முதல் பார்வையில், அவை தொடர்பில்லாததாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை.

– 23.6% நிலையானது, வரிசையில் வலதுபுறமாக இரண்டு இடங்களில் அமைந்துள்ள எண்ணால் ஒரு எண்ணை வகுத்தால், ஆழமான விகிதமாகப் பெறப்படுகிறது.

- 38.2% நிலையானது, ஃபிபோனாச்சி வரிசையில் உள்ள எண்ணை அதன் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணால் வகுத்தால் கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 34-ஐ 89ஆல் வகுத்தால் தோராயமாக 0.382 கிடைக்கும்.

– 61.8% நிலை (அல்லது 38.2%இன் தலைகீழ்) ஃபிபோனாச்சி வரிசையில் ஒரு எண்ணை நேரடியாகப் பின்தொடரும் எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 55-ஐ 89ஆல் வகுத்தால் தோராயமாக 0.618 ஆகும்.

- 50% நிலை ஃபிபோனாச்சி வரிசையைப் பயன்படுத்துவதன் நேரடி விளைவாக இல்லை, ஆனால் அதன் எளிமை மற்றும் உளவியல் முக்கியத்துவம் காரணமாக இது பெரும்பாலும் தொழில்நுட்பப் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முந்தைய இயக்கத்தில் ஏறக்குறைய பாதியளவு விலைகள் பெரும்பாலும் சரிவருவதை கூர்ந்து கவனிக்க முடிந்தது.

– 78.6% நிலை என்பது 61.8%-இன் வர்க்க மூலமாகும்.

ஃபிபோனாச்சி நீட்டிப்பு நிலைகள்

ஃபிபோனாச்சி நீட்டிப்பு நிலைகள், திருத்தத்திற்குப் பிறகு முதன்மைப் போக்கின் திசையில் விலை நகர்வு தொடரக்கூடிய சாத்தியமான நிலைகளைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த நிலைகள், 161.8%, 261.8%, மற்றும் 423.6% உட்பட, சந்தை இயக்கங்கள் பெரும்பாலும் இயற்கை மற்றும் கணிதத்தில் காணப்படும் விகிதாச்சாரத்தைப் பின்பற்றுகின்றன என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையிலும் உள்ளன. நீட்டிப்புகள் வர்த்தகர்களுக்கு இடங்களை மூடுவதற்கான இலக்குகளை அடையாளம் காண உதவுகின்றன அல்லது திருத்தம் முடிந்த பிறகு இலாபம் ஈட்டுகின்றன. ஃபிபோனாச்சி வரிசையிலிருந்து எண்கள் இல்லாவிட்டாலும், இந்த நிலைகள் கணித பண்புகள், குறிப்பாக கோல்டன் ரேஷியோ (1.618) மூலம் அதனுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை.

- 161.8% நேரடியாக கோல்டன் ரேஷியோ 100-ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த நீட்டிப்பு நிலை குறிப்பாக முக்கியமானது, ஏனெனில் அடுத்த விலை நகர்வு முந்தைய போக்குக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும், கோல்டன் ரேஷியோ குணகத்தால் பெருக்கப்படும். ஃபிபோனாச்சி வரிசையின் சூழலில், நீங்கள் எந்த எண்ணையும் எடுத்து 1.618-ஆல் பெருக்கினால், அந்த வரிசையில் அடுத்த எண்ணின் மதிப்பை தோராயமாக கணக்கிடுவீர்கள். 

- 261.8% மற்றும் 423.6% ஆகியவை கோல்டன் ரேஷியோவுடன் தொடர்புடைய சதவீதங்கள், ஆனால் திருத்தத்தைத் தொடர்ந்து நீண்ட அல்லது அதிக தீவிர இலக்கு நிலைகளைக் குறிக்கின்றன. உதாரணமாக, கோல்டன் ரேஷியோவை (1.618) பெருக்குவதன் மூலம் 261.8% பெறலாம், பின்னர் 100ஆல் பெருக்கி அதை ஒரு சதவீதமாக மாற்றலாம். இந்த நிலை விலை நகர்வுக்கான மேலும் இலக்கைக் குறிக்கிறது, இது வலுவான போக்குகளில் குறிப்பாக பொருத்தமானதாக இருக்கலாம். 423.6% என்பது கோல்டன் ரேஷியோவை மேலும் பெருக்குவதன் மூலமோ அல்லது ஃபிபோனாச்சி எண்களின் பிற சேர்க்கைகள் மூலமாகவோ 100-ஆல் பெருக்கப்படுவதன் மூலமோ பெறப்படுகிறது. இந்த நிலை இன்னும் தீவிரமான இலக்கைக் குறிக்கிறது, இது மிகவும் வலுவான போக்கு இயக்கங்களின் அரிதான நிகழ்வுகளில் அடையப்படலாம்.  

நடைமுறை பயன்பாட்டிற்கான உதவிக்குறிப்புகள்

ஃபிபோனாச்சி பின்வாங்குதல் (ரீட்ரேஸ்மென்ட்) மற்றும் நீட்டிப்பு நிலைகள் அனுபவமுள்ள வர்த்தகருக்கு ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும், இது சந்தை நடத்தையை முன்கணிப்பதற்கான அதிக நிகழ்தகவை வழங்குகிறது. இருப்பினும், எந்தவொரு கருவியையும் போலவே, அவை 100% உத்தரவாதங்களை வழங்காது என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். எனவே, கடுமையான ஆபத்து மேலாண்மை ஒழுக்கம் கடைபிடிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் வர்த்தகத்தில் நுழைவதற்கு அல்லது வெளியேறுவதற்கு மிகவும் நம்பகமான சமிக்ஞைகளைப் பெறுவதற்கு, அவை மற்ற தொழில்நுட்பப் பகுப்பாய்வு முறைகள் மற்றும் குறிகாட்டிகளுடன் இணைந்து பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், அதாவது நகரும் சராசரிகள் (MA), ரிலேட்டிவ் ஸ்ட்ரெங்த் இன்டெக்ஸ் (RSI), எம்ஏசிடி, மற்றும் வால்யூம் அளவுகள்.  பல்வேறு கால கட்டங்களைக் கருத்தில் கொள்வதும் முக்கியம். எடுத்துக்காட்டாக, தினசரி அல்லது வாராந்திர விளக்கப்படங்களில் அடையாளம் காணப்பட்ட ஃபிபோனாச்சி அளவுகள், குறுகியகால பிரேம்களில் இருப்பதை விட மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கலாம், வலுவான ஆதரவு அல்லது எதிர்ப்பு நிலைகளை வழங்குகிறது.  

ஃபிபோனாச்சி அளவை அடிப்படையாகக் கொண்ட வர்த்தகத்தில் நுழைய முடிவு செய்வதற்கு முன், மெழுகுவர்த்தி வடிவங்கள் போன்ற உறுதிப்படுத்தும் சமிக்ஞைகளுக்காகக் காத்திருப்பது நல்லது. கூடுதலாக, டிரா  ஃபிபோனாச்சி மறுசீரமைப்பு (ரீட்ரேஸ்மென்ட்) கருவியைப் பயன்படுத்தும்போது, தொடக்க மற்றும் முடிவுப் புள்ளிகளின் சரியான தேர்வு முக்கியமானது. விளக்கப்படத்தில் தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்ட உச்சங்கள் அல்லது தொட்டிகள் ஆன குறிப்பிடத்தக்க உயர்வும் தாழ்வும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்.

ஃபிபோனாச்சி அளவுகள் பயனுள்ள வரையறைகளை வழங்க முடியும் என்றாலும், சந்தை எப்போதும் கணிக்கக்கூடிய வகையில் பதிலளிக்காது என்பதை புரிந்துகொள்வது அவசியம், ஏனெனில் அவை கடுமையான சட்டத்தை விட உளவியல் காரணியை பிரதிநிதித்துவம் செய்கின்றன. எனவே, வர்த்தகர்கள் எதிர்பாராத இயக்கங்களுக்கு தயாராக இருக்கவேண்டும், மேலும் அதற்கேற்ப ஆபத்துகளை நிர்வகிக்க வேண்டும். ஸ்டாப் லாஸ் மற்றும் டேக் புராஃபிட் ஆர்டர்களை அமைப்பதன் மூலம் இதற்கு உதவலாம். எடுத்துக்காட்டாக, தவறான பிரேக்அவுட்களில் இருந்து பாதுகாக்க ஒரு முக்கிய ஃபிபோனாச்சி நிலைக்கு அப்பால் ஸ்டாப் லாஸ் வைக்கலாம்.    

தொழில்நுட்பப் பகுப்பாய்வு கருவிகள்

ஃபிபோனாச்சி நிலைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட பல கருவிகள் உள்ளன. ஃபிபோனாச்சி ரீட்ரேஸ்மெண்ட் என்பது வர்த்தகர்களிடையே மிகவும் பிரபலமானது, இதுபற்றி நாம் ஏற்கனவே விவாதித்துள்ளோம். இது மெட்டாடிரேடர் 4 முனையத்தில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு இது டிரா ஃபைபோனச்சி ரீட்ரேஸ்மென்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றொரு கருவி, ஃபிபோனாச்சி எக்ஸ்டென்ஷன் (நீட்டிப்பு), அதுபற்றியும் விவாதிக்கப்பட்டது.

ஃபிபோனாச்சி புரொஜெக்ஷன்ஸ் என்பது ஃபிபோனாச்சி எக்ஸ்டென்ஷன் போன்ற ஒரு கருவியாகும். வித்தியாசம் என்னவென்றால், முந்தைய அலைகளின் அளவு மற்றும் திசையின் அடிப்படையில் அடுத்தடுத்த விலை நகர்வை மதிப்பிடுவதற்கான வழியை இது வழங்குகிறது. எதிர்கால இயக்கத்தை கணிக்க, முந்தைய அலையில் மூன்று புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்: இயக்கத்தின் ஆரம்பம், இயக்கத்தின் முடிவு மற்றும் திருத்தத்தின் இறுதிப் புள்ளி.

மற்றொரு கருவி, ஃபிபோனாச்சி ஃபேன், விளக்கப்படத்தில் உள்ள ஃபிபோனாச்சி ரீட்ரேஸ்மெண்ட் நிலைகள் மூலம் ஒரு புள்ளியிலிருந்து (பொதுவாக குறிப்பிடத்தக்க குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்சம்) வரையப்பட்ட கோடுகளைக் கொண்டுள்ளது. விசிறி கோடுகள் சாத்தியமான ஆதரவு அல்லது எதிர்ப்புக் கோடுகளாக செயல்படும்.

இறுதியாக, தொழில்நுட்பப் பகுப்பாய்விற்கான ஒரு அசாதாரண கருவியான ஃபிபோனாச்சி நேர மண்டலங்கள், கழிந்த நேரத்தின் அடிப்படையில் சாத்தியமான தலைகீழ் தருணங்களை அடையாளம் காணப் பயன்படுகிறது. இம்மண்டலங்கள் குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் வைக்கப்படும் செங்குத்து கோடுகளின் வரிசையைக் கொண்டிருக்கும், இது ஃபிபோனாச்சி வரிசைக்கு ஒத்திருக்கிறது மற்றும் இந்த தருணங்களில் முக்கியமான தலைகீழ் புள்ளிகள் ஏற்படக்கூடும் என்று பரிந்துரைக்கின்றன.

முன்பு கூறியது போல், இந்தக் கருவிகள், மற்றவற்றைப் போலவே, எதிர்கால விலை நகர்வுகளின் துல்லியமான கணிப்புக்கு உத்தரவாதம் அளிக்காது. வர்த்தக நடவடிக்கைகளைத் திட்டமிடும்போது மற்றும் வர்த்தக உத்திகளை உருவாக்கும்போது கருத்தில் கொள்ளக்கூடிய சாத்தியமான நிலைகளை மட்டுமே அவை வழங்குகின்றன. பட்டியலிடப்பட்ட கருவிகளின் வெற்றிகரமான பயன்பாட்டிற்கு பயிற்சி, பொறுமை, ஒழுக்கம், சந்தை நிலைமைகள் பற்றிய ஆழமான புரிதல் ஆகியவை தேவை.

இன்னும் கொஞ்சம் வரலாறு: 13ஆம் நூற்றாண்டு முதல் 20ஆம் நூற்றாண்டு வரை

முக்கிய கணிதக் கட்டுரையான "லிபர் அபாசி" (தி புக் ஆஃப் கால்குலேஷன்), 1202-இல் ஃபிபோனாச்சியால் எழுதப்பட்டது, 1228-இல் ஒரு திருத்தப்பட்ட பதிப்பு வெளிவந்தது. இந்தப் புத்தகம் தசம எண்கணிதத்தை வெளிப்படுத்துவதற்கும் மேம்படுத்துவதற்கும் அர்ப்பணிக்கப்பட்டது மற்றும் பூஜ்ஜிய எண்ணின் பிரதிநிதித்துவம் உட்பட இந்தோ-அரேபிய எண்களின் பரவலுக்கான அடித்தளத்தை அமைத்தது. இந்த வேலையில், முயல்களின் எண்ணிக்கை வளர்ச்சி பற்றிய சிக்கலை தீர்க்கும்போது, ஃபிபோனாச்சி தனது பெயரைக் கொண்ட புகழ்பெற்ற வரிசையை உருவாக்கினார் மேலும் கணிதத்தில் அவரது மிக முக்கியமான பங்களிப்பாக மாறினார்.

20ஆம் நூற்றாண்டில் நிதிச் சந்தைகளின் வர்த்தகத்தில் ஃபிபோனாச்சி வரிசை புதிய பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்தது, முதன்மையாக பல வர்த்தகர்கள் மற்றும் நிதி பகுப்பாய்வாளர்கள் அதைப் படித்து தங்கள் வேலையில் பயன்படுத்தியதற்கு நன்றி. அவர்களில் பெரும்பாலோர் ஃபிபோனாச்சி நிலைகளை விலை முறைகள் மற்றும் எலியட் வேவ் தியரியுடன் தொடர்புபடுத்தினர். ரால்ஃப் எலியட்டின் பணி மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் வடிவங்கள் மற்றும் தொடர்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்றாலும், அது விவாதிக்கப்பட்ட வரிசையுடன் ஒரு தொடர்பைக் காண்கிறது. சந்தை அலை வடிவங்கள் ஃபிபோனாச்சி எண்களுடன் ஓரளவு தொடர்புடைய கட்டமைப்பைப் பின்பற்றுகின்றன என்பதை எலியட் கண்டுபிடித்தார். எடுத்துக்காட்டாக, அலைகளை 5 மற்றும் 3 பின்னங்களாகப் பிரிப்பது, இது 8 வரை இருக்கும், இது ஃபிபோனாச்சி வரிசையின் ஒரு பகுதியாகும். எலியட்டின் பின்தொடர்பவர், ராபர்ட் ப்ரெக்டர், சந்தை அலைகள் கூட்டத்தின் உளவியலைப் பின்பற்றுகின்றன என்று வலியுறுத்தினார், உண்மையில் இந்த வடிவங்களை ஃபிபோனாச்சி எண்களைப் பயன்படுத்தி கணிக்க முடியும் என்பதை தெளிவாக நிரூபித்தார். 

தொழில்நுட்ப பகுப்பாய்வில் ஃபைபோனச்சி அளவைப் பயன்படுத்துவதை பிரபலப்படுத்துவதற்கு லாரி பெசவென்டோ குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்தார். இந்த வர்த்தக அனுபவமிக்கவர், இணக்கமான விலை முறைகளை ஆராய்ந்து பல புத்தகங்களை எழுதினார், அவற்றில் பல இத்தாலிய கணிதவியலாளரின் வரிசையுடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஸ்காட் கார்னி ஃபிபோனாச்சி நிலைகளின் அடிப்படையில் "பட்டர்ஃபிளை" மற்றும் "கிராப்" போன்ற பல இசை வடிவங்களையும் உருவாக்கினார். பிலிப் கேரட்டின் பங்களிப்பையும் மறந்துவிடக் கூடாது. பயனீர் பண்டின் நிறுவனர் சந்தைகளை பகுப்பாய்வு செய்ய கணிதக் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தினார், மேலும் நீண்டகால பகுப்பாய்வு மற்றும் பங்குத் தேர்வின் அடிப்படையில் முதலீடு செய்வதற்கான அவரது அணுகுமுறை, "கோல்டன் ரேஷியோ"க்கான தேடலைப் போன்ற கொள்கைகளை பிரதிபலித்தது.  

***

முடிவில், நிதி பகுப்பாய்வில் ஃபிபோனாச்சி நிலைகளின் முக்கியத்துவம் மற்றும் பயன் குறித்து பல வர்த்தகர்கள் மற்றும் பகுப்பாய்வாளர்களின் பொதுவான கருத்தை பிரதிபலிக்கும் சில கூற்றுகளை இங்கே முன்வைப்போம்:

- "ஃபிபோனாச்சி வரிசையானது பிரபஞ்சத்தின் இயற்கையான வரிசைப்படுத்தல் ஆகும், எனவே எதிர்கால இயக்கங்களைக் கணிக்க நிதிச் சந்தைகளுக்குப் பயன்படுத்துவது சரியான அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது."

- "ஃபிபோனாச்சியின் மறுசீரமைப்பு நிலைகள் வர்த்தகத்தின் புனித பொக்கிஷம் அல்ல, ஆனால் அவை சந்தை உளவியல் மற்றும் சாத்தியமான மாற்றங்களை புரிந்துகொள்வதற்கு நம்பமுடியாத அளவிற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்."

- "ஃபிபோனாச்சி நீட்டிப்புகள் ஒரு போக்கு சந்தையில் இலாப இலக்குகளை நிர்ணயிப்பதற்கு விலைமதிப்பற்றவை, விலை அடுத்ததாக எங்கு செல்லக்கூடும் என்பதற்கான வரைபடத்தை வழங்குகிறது."